Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F到直线x-y+1=0的距离为

2

．
（1）求抛物线的方程；
（2）如图，过点F作两条直线分别交抛物线于A、B和C、D，过点F作垂直于x轴的直线分别交AC和BD于点M，N．求证：|MF|=|NF|．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F到直线x-y+1=0的距离为

2

，求出p的值，即可求抛物线的方程；
（2）设直线AB的方程为：x=m₁y+1，直线CD的方程为：x=m₂y+1，代入抛物线方程，利用韦达定理，求出直线AC、BD的方程，将x=1代入，即可得出结论．

解答： 解：（1）焦点F（

p

2

，0），由已知得

| p 2 +1|

2

=

2

，且p＞0，解得p=2，
故所求抛物线的方程为y²=4x．
（2）设直线AB的方程为：x=m₁y+1，直线CD的方程为：x=m₂y+1，
令A（

y12

4

，y₁），B（

y22

4

，y₂），C（

y32

4

，y₃），D（

y42

4

，y₄）
将x=m₁y+1代入抛物线方程得：y²-4m₁y-4=0
于是有：y₁+y₂=4m₁，y₁y₂=-4
同理得：y₃+y₄=4m₂，y₃y₄=-4，
故A（

y12

4

，y₁），B（

4

y12

，-

4

y1

），C（

y32

4

，y₃），D（

4

y32

，-

4

y3

）
所以直线AC的方程为：y-y₁=

4

y1+y3

（x-

y12

4

），①
直线BD的方程为：y-

4

y1

=-

y1y3

y1+y3

（x-

4

y12

），②
将x=1代入①式得：y_M=

4+y1y3

y1+y3

将x=1代入②式得：y_N=-

4+y1y3

y1+y3

所以y_M=-y_N，即：|MF|=|NF|．

点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，难度中等．