Question

已知函数f（x）=

lnx+1

sinθ

（0＜θ＜π），且f（x）≤x对?x＞0恒成立．数列{a_n}满足a₁=f（1），a_n+1=

1

2

a_n+

n2-2n-1

4n2(n+1)2

（n∈N^*）．
（1）求θ的取值集合；
（2）设b_n=a_n-

1

2n2

，求数列{b_n}的通项公式；
（3）数列{c_n}中，c₁=1，c_n+1=（1+a_n）c_n，求证：c_n＜e²．（e为自然对数的底数）

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）f（x）≤x对?x＞0恒成立等价于sinθ≥

lnx+1

x

对?x＞0恒成立．设g(x)=

lnx+1

x

（x＞0），则sinθ≥g（x）_max．由此能求出θ的取值集合．
（2）f（x）=lnx+1，a₁=f（1）=1．由bn=an-

1

2n2

，推导出数列{b_n}是首项为b1=a1-

1

2

=

1

2

，公比为

1

2

的等比数列．由此能求出bn=

1

2n

（n∈N^*）．
（3）由bn=an-

1

2n2

=

1

2n

，得an=

1

2n

+

1

2n2

．则cn+1=(1+

1

2n

+

1

2n2

)cn，两边取自然对数，得lncn+1=ln(1+

1

2n

+

1

2n2

)+lncn，由lnx≤x-1对?x＞0恒成立，能证明cn＜e2．

解答： （1）解：由0＜θ＜π得sinθ＞0，
故f（x）≤x对?x＞0恒成立等价于sinθ≥

lnx+1

x

对?x＞0恒成立．
设g(x)=

lnx+1

x

（x＞0），则sinθ≥g（x）_max．
由于g′(x)=

-lnx

x2

，令g'（x）=0，得x=1．
∵当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）递增；
当x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）递减．
∴g（x）_max=g（1）=1，∴sinθ≥1．
又0＜sinθ≤1，∴sinθ=1，θ=

π

2

．
∴θ的取值集合为{

π

2

}．
（2）解：由（1）知，f（x）=lnx+1，a₁=f（1）=1．
∵bn=an-

1

2n2

，
∴bn+1=an+1-

1

2(n+1)2

=

1

2

an+

n2-2n-1

4n2(n+1)2

-

1

2(n+1)2

=

1

2

an-

1

4n2

=

1

2

(an-

1

2n2

)=

1

2

bn．
∴数列{b_n}是首项为b1=a1-

1

2

=

1

2

，公比为

1

2

的等比数列．
∴bn=

1

2n

（n∈N^*）．
（3）证明：由（2）知，bn=an-

1

2n2

=

1

2n

，得an=

1

2n

+

1

2n2

．
则cn+1=(1+

1

2n

+

1

2n2

)cn，又c₁=1知c_n＞0，
两边取自然对数，得lncn+1=ln(1+

1

2n

+

1

2n2

)+lncn，
由（1）知，f（x）=lnx+1≤x，即lnx≤x-1对?x＞0恒成立，
∴lncn+1-lncn=ln(1+

1

2n

+

1

2n2

)≤

1

2n

+

1

2n2

=

1

2n

+

2

4n2

＜

1

2n

+

2

4n2-1

=

1

2n

+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴lnc2-lnc1＜

1

2

+(1-

1

3

)，lnc3-lnc2＜

1

22

+(

1

3

-

1

5

)，
…lncn-lncn-1＜

1

2n-1

+(

1

2n-3

-

1

2n-1

)（n≥2）．
把以上n-1个是式子相加，注意到lnc₁=ln1=0，得lncn＜

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

+(1-

1

2n-1

)=2-

1

2n-1

-

1

2n-1

＜2（n≥2）．
当n=1时，lnc₁=0＜2也满足上式，
∴cn＜e2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意对数性质、导数性质的合理运用．