Question

如图，E，P，B，C为圆O上的四点，直线PB，PC，BC分别交直线EO于M，N三点，且PM=PN．
（Ⅰ）求证：∠POA+∠BAO=90°；
（Ⅱ）若BC∥PE，求

PE

PO

的值．

Answer 1

考点：圆內接多边形的性质与判定,平行线分线段成比例定理

专题：立体几何

分析：（Ⅰ）过点P作圆O的切线交直线EO于F点，由弦切角性质可知∠NPF=∠PBA，结合PM=PN，可得∠PFN=∠BAO，进而根据切线的性质得到∠POA+∠PFN=90°，等量代换后，得到答案．
（Ⅱ）若BC∥PE，则∠PEO=∠BAO，又∠POA=2∠PEO，可得∠POA=2∠BAO，结合（I）中结论可求出∠BAO=30°，解三角形可得答案．

解答： 证明：（Ⅰ）过点P作圆O的切线交直线EO于F点，由弦切角性质可知∠NPF=∠PBA，
∵PM=PN，
∴∠PNO=∠PMA，
则∠PNO-∠NPF=∠PMA-∠PBA，
即∠PFN=∠BAO．

又PF为圆O的切线，故∠POA+∠PFN=90°，
故∠POA+∠BAO=90°．…（5分）
解：（Ⅱ）若BC∥PE，则∠PEO=∠BAO，又∠POA=2∠PEO，
故∠POA=2∠BAO，
由（Ⅰ）可知90°=∠POA+∠BAO=3∠BAO，故∠BAO=30°，
则∠PEO=∠BAO=30°，cos∠PEO=

PE 2

EO

，即

3

2

=

PE

2EO

，
故

PE

PO

=

PE

EO

=

3

．…（10分）

点评：本题考查的知识点是弦切角定理，切线的性质，圆心角定理，是平面几何证明的简单综合应用，难度中档．