Question

设椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e=

2

2

，且过点（-1，-

6

2

）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆E的左顶点是A，若直线l：x-my-t=0与椭圆E相交于不同的两点M、N（M、N与A均不重合），若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由离心率为e=

2

2

，得到a²=2b²，椭圆的过点（-1，-

6

2

），求出b²=2，a²=4，则椭圆C的方程可求；
（Ⅱ）设出M，N的坐标，联立直线和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，因为以MN为直径的圆过点A，所以

AM

•

AN

=0，得到t=-

2

3

，从而证明直线l过定点，并求出该定点的坐标．

解答： 解：（Ⅰ）由e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

，可得a²=2b²，…（1分）
椭圆方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，代入点(-1，-

6

2

)可得b²=2，a²=4，
故椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

2

=1，…（4分）
（Ⅱ）由x-my-t=0得x=my+t，把它代入E的方程得：（m²+2）y²+2mty+t²-4=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）得：y1+y2=-

2mt

m2+2

，y1y2=

t2-4

m2+2

，x1+x2=m(y1+y2)+2t=

4t

m2+2

x1x2=(my1+t)(my2+t)=m2y1y2+tm(y1+y2)+t2=

2t2-4m2

m 2+2

…（7分）
因为以MN为直径的圆过点A，所以AM⊥AN，…（8分）
所以

AM

•

AN

=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=

2t2-4m2

m2+2

+2×

4t

m2+2

+4+

t2-4

m2+2

=

3t2+8t+4

m2+2

=

(t+2)(3t+2)

m2+2

=0…（10分）
因为M、N与A均不重合，所以t≠-2
所以，t=-

2

3

，直线l的方程是x=my-

2

3

，直线l过定点T(-

2

3

，0)
由于点T在椭圆内部，故满足判别式大于0
所以直线l过定点T(-

2

3

，0)…（12分）

点评：本题考查了椭圆的标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了设而不求的解题思想方法和数学转化思想方法，解答的关键是把以线段MN为直径的圆过椭圆C左顶点A转化为向量数量积等于0解题．