Question

已知点P（-2，-1）和直线L：（1+3λ）+（1+2λ）y-（2+5λ）=0，λ∈R，求证：不论λ取何值时，点P到直线L的距离不大于

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．

Answer 1

考点：点到直线的距离公式

专题：直线与圆

分析：将直线L：（1+3λ）+（1+2λ）y-（2+5λ）=0变形为x+y-2+（3x+2y-5）λ=0，由此可得直线系过点O（1，1），由此能求出P到直线l的最远距离为：|PO|=

(-2-1)2+(-1-1)2

=

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，由此能求出不论λ取何值时，点P到直线L的距离不大于

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．

解答： 解：将直线L：（1+3λ）+（1+2λ）y-（2+5λ）=0变形为x+y-2+（3x+2y-5）λ=0
由此可得直线系过点O（1，1）
则P到直线l的最近距离为0，此时直线过P．
P到直线l的最远距离为：|PO|=

(-2-1)2+(-1-1)2

=

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，
此时直线垂直于PO．
∴d的取值范围为[0，

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]．
∴不论λ取何值时，点P到直线L的距离不大于

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．

点评：本题考查点P到直线的距离不大于

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的证明，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．