Question

已知函数f（x）=ax²+

b

x

+5（常数a，b∈R）满足f（1）+f（-1）=14．
（1）求出a的值，并就常数b的不同取值讨论函数f（x）奇偶性；
（2）若f（x）在区间（-∞，-

3	0.5

）上单调递减，求b的最小值；
（3）在（2）的条件下，当b取最小值时，证明：f（x）恰有一个零点q且存在递增的正整数数列{a_n}，使得

2

5

=q a1+q a2+q a3+…+q an+…成立．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,等差数列与等比数列

分析：（1）根据条件很容易求出a，讨论奇偶性根据定义即可，注意对于非奇非偶的，要举出反例．
（2）利用导数求出f（x）的单调区间，再与所给单调区间比较即可求b的最小值．
（3）说f（x）有一个零点，所以我们先来找f（x）的零点，找到之后再看怎样让它满足所给等式即可．

解答： 解：（1）由f（1）+f（-1）=14得（a+b+5）+（a-b+5）=14，所以解得a=2；
所以f（x）=2x2+

b

x

+5，定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）；
当b=0时，对于定义域内的任意x，有f（-x）=f（x）=2x²+5，所以f（x）为偶函数．
当b≠0时，f（1）+f（-1）=14≠0，所以f（-1）≠-f（1），所以f（x）不是奇函数；f（-1）-f（1）=-2b≠0，所以f（x）不是偶函数；
所以，b=0时f（x）为偶函数，b≠0时，f（x）为非奇非偶函数．
（2）f′（x）=4x-

b

x2

=

4x3-b

x2

=0，解得x=

3	b 4

，所以x∈（-∞，

3	b 4

）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（-∞，

3	b 4

）上单调递减，又f（x）在(-∞，-

3	0.5

)上单调递减，所以-

3	0.5

≤

3	b 4

，解得 b≥-2，所以b的最小值是-2．
（3）在（2）的条件下，f（x）=2x2-

2

x

+5；
当 x＜0时，f（x）＞0恒成立，函数f（x）在（-∞，0）上无零点；
当 x＞0时，f′（x）=4x+

2

x2

＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）上递增，又f（

1

4

）=-

23

8

＜0，f（1）=5＞0；
∴f（x）在（

1

4

，1）上有一个零点q，即q∈(

1

4

，1)，且f（q）=2q2-

2

q

+5=0，整理成

1-q3

q

=

5

2

，所以

q

1-q3

=

2

5

；
又

q

1-q3

=q+q4+q7+…+q3n-2++…，所以

2

5

=q+q4+q7+…+q3n-2+…，且a_n=3n-2．

点评：本题前两问比较基础，只是在第二问中注意，要说明一个函数非奇非偶，只需举出反例即可．对于第三问，你要去寻找零点，寻找的最后找到了零点所在的区间，零点，即函数在零点处取值为零，所以会得到关于q的一个等式，经过变形就出来了所给等式中的

2

5

，得到等式

q

1-q3

=

2

5

之后，会看出

q

1-q3

很像某个等比数列的和，从而完成了本题的求解．