Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-x²
（1）求f（x）在R上的极值；
（2）已知a∈R，若g（x）=f（x）+ax，讨论g（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的导数，解不等式求出即可，（2）先求出函数g（x）的导数，分别讨论①a≥1时②a＜1时的情况，从而求出单调区间．

解答： 解：（1）∵f′（x）=x（x-2），
令f′（x）＞0，解得：x＞2，或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在（-∞，0），（2，+∞）递增，在（0，2）递减，
∴f（x）_极大值=f（0）=0，f（x）_极小值=f（2）=-

4

3

．
（2）∵g（x）=

1

3

x³-x²+ax，
∴g′（x）=x²-2x+a，
①a≥1时，g′（x）≥0，g（x）在（-∞，+∞）递增，
②a＜1时，令g′（x）=0，解得：x=1±

1-a

，
∴f（x）在（-∞，1-

1-a

），（1+

1-a

，+∞）递增，在（1-

1-a

，1+

1-a

）递减．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．