Question

在平面直角坐标系xOy中，设M是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上在第一象限的点，A（a，0）和B（0，b）是椭圆的两个顶点，求四边形MAOB的面积的最大值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：令M（acosφ，bsinφ），其中0＜φ＜

π

2

，表示出四边形MAOB的面积，利用三角函数的有界限求出四边形OAMB的面积的最大值．

解答： 解：已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的参数方程为

x=acosφ y=bsinφ

．
由题设可令M（acosφ，bsinφ），其中0＜φ＜

π

2

．
所以，S_{四边形MAOB}=S_△MAO+S_△MOB=

1

2

OA•y_M+

1

2

OB•x_M=

1

2

ab（sinφ+cosφ）=

2

2

absin（φ+

π

4

）．
所以，当φ=

π

4

时，四边形MAOB的面积的最大值为

2

2

ab．

点评：本题考查椭圆上的点的设法及三角函数的有界限求函数的最值，属于一道中档题．