Question

若对于定义在R上的连续函数f（x），存在常数a（a∈R），使得f（x+a）+af（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是回旋函数，且阶数为a．现有下列4个命题：
①幂函数必定不是回旋函数；
②若sinωx（ω≠0）为回旋函数，则其最小正周期必不大于2；
③若指数函数为回旋函数，则其阶数必大于1；
④若对任意一个阶数为a（a∈[0，+∞））的回旋函数f（x），方程f（x）=0均有实数根．
其中真命题的个数为（　　）

• A、1个
• B、2 个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：①利用回旋函数的定义，令x=0，则必须有a=0；令x=1，则显然不成立，故可判断；
②由于f（x）=sinωx是回旋函数，故有：sinω（x+a）+asinωx=0对任意实数x成立，从而可求实数ω的值，可得结论；
③若指数函数y=a^x为阶数为m的回旋函数，利用定义，可得m＜0；
④a=0时结论显然；当a≠0时先假设存在，利用回旋函数的定义，易得在区间（0，a）上必有一个实根．

解答： 解：①若（x+a）ⁿ+axⁿ=0对任意实数都成立，令x=0，则必须有a=0，
令x=1，则有（1+a）ⁿ+a=0，显然a=0不是这个方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，①正确；
②由于f（x）=sinωx是回旋函数，故有：sinω（x+a）+asinωx=0对任意实数x成立
令x=0，可得sinωa=0，令x=

π

2

，运用两角的和的正弦公式可得cosωa=-a，故a=±1，ω=kπ（k为整数），所以T=|

2

k

|≤2，所以②正确；
③若指数函数y=a^x为阶数为m的回旋函数，则a^x+m+ma^x=0，∴a^m+m=0，∴m＜0，故③不正确；
④如果a=0，显然f（x）=0，则显然有实根．下面考虑a≠0的情况．
若存在实根x₀，则f（x₀+a）+af（x₀）=0，即f（x₀+a）=0说明实根如果存在，那么加a也是实根．因此在区间（0，a）上必有一个实根．则：f（0）f（a）＜0，由于f（0+a）+af（0）=0，则f（0）=

-f(a)

a

，只要a＞0，即可保证f（0）和f（a）异号．综上a≥0，即对任意一个阶数为a（a≥0）的回旋函数f （x），方程f（x）=0均有实数根，④正确．
故选C．

点评：本题是新定义题，关键是理解新定义，利用新定义时，应注意赋值法的运用，同时注意运用数学思想方法的运用：分类讨论和反证法．