Question

定义在R上的函数f（x）满足：f（-x）+f（x）=x²，当x＜0时，f′（x）＜x，则不等式f（x）+

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2

≥f（1-x）+x的解集为

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：可先对f（-x）+f（x）=x²，两边对x取导数，根据x＜0时，f′（x）＜x，推出x＞0时，f′（x）＜x，求出f（0）=0，且f′（0）≤0，得到x∈R，都有f′（x）＜x．构造函数F（x）=f（x）+

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2

-f（1-x）-x，求导并推出F′（x）＜0，且F（

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2

）=0，运用函数的单调性即可解出不等式．

解答： 解：∵定义在R上的函数f（x）满足：f（-x）+f（x）=x²，
两边对x求导，得-f′（-x）+f′（x）=2x，
∴f′（x）=f′（-x）+2x，
令x＞0，则-x＜0，
∵当x＜0时，f′（x）＜x，
∴f′（-x）＜-x，
∴f′（x）＜2x-x，即f′（x）＜x，
又f（0）=0，直线y=x过原点，
∴f′（0）≤0，
∴x∈R，都有f′（x）＜x，
令F（x）=f（x）+

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2

-f（1-x）-x，则
F′（x）=f′（x）+f′（1-x）-1＜x+1-x-1=0，
即F（x）是R上的单调减函数，且F（

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）=0，
∴不等式f（x）+

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≥f（1-x）+x，
即F（x）≥0，即F（x）≥F（

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2

），
∴x≤

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2

．
∴原不等式的解集为（-∞，

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]．
故答案为：（-∞，

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2

]．

点评：本题主要考查运用导数研究函数的单调性，并应用单调性解不等式，同时考查构造函数研究函数的性质的能力，如何运用条件，两边对x求导，是解决此类题的关键．