Question

如图，在四棱锥A-BCDE中，AE⊥平面BCDE，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=6

3

，BC=CD=6．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACE；
（Ⅱ）设点G在棱AC上，且CG=2GA，试求二面角C-EG-D的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）由已知条件得四边形BCDE为正方形，所以BD⊥CE，由此能证明BD⊥平面ACE．
（Ⅱ）以E为坐标原点，EB，ED，EA所在直线分别为x，y，z轴，建立坐标系，利用向量法能求出二面角C-EG-D的余弦值．

解答： （I）证明：由AE⊥平面BCDE，得AE⊥BD，
又∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，BC=CD，
得四边形BCDE为正方形，∴BD⊥CE，
又AE?平面ACE，CE?平面ACE，AE∩CE=E
故BD⊥平面ACE．…（6分）
（Ⅱ）解：由（I）知BCDE为正方形，
以E为坐标原点，EB，ED，EA所在直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示坐标系，
则E（0，0，0），D（0，6，0），C（6，6，0），
在直角三角形AEC中，因为EC=6，EC=6

2

，AC=6

3

，
所以EA=

(6 3 )2-(6 2 )2

=6，又CG=2GA，
所以A（0，6，0），G（2，2，4）
则

ED

=(0，6，0)，

EG

=(2，2，4)，
∵BD⊥平面ACE，∴平面ACE的一个法向量为

BD

=(-6，6，0)
设平面DEG的一个法向量为

n

=(x，y，1)
则由

n • ED =0 n • EG =0

，得

6y=0 2x+2y+4=0

，
取x=-2，则

n

=(-2，0，1)，
∵cos＜

BD

，

n

＞=

BD • n

| BD |•| n |

=

10

5

∴二面角C-EG-D的余弦值为

10

5

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，二查二面角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．