Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知CA=CB=1，AA₁=2，∠BCA=90°．
（1）求异面直线BA₁与CB₁夹角的余弦值；
（2）求二面角B-AB₁-C平面角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）建立空间直角坐标系，求出异面直线BA₁与CB₁的方向向量，代入向量夹角公式，可得异面直线BA₁与CB₁夹角的余弦值；
（2）求出平面AB₁C的法向量和平面BAB₁的一个法向量，代入向量夹角公式，可得二面角B-AB₁-C平面角的余弦值．

解答： 解：（1）建立如下图所示的空间直角坐标系．
∵CA=CB=1，AA₁=2，
∴A（1，0，0），B（0，1，0），A₁（1，0.2），B₁（0，1，2），
∴

CB1

=（0，1，2），

BA1

=（1，-1，2），
设异面直线BA₁与CB₁夹角为θ，
则cosθ=

| CB1 • BA1 |

| CB1 |•| BA1 |

=

3

6 × 5

=

30

10

…（4分）
（2）由（1）得：

AB

=（-1，1，0），

AB1

=（-1，1，2），
设平面AB₁C的法向量为

m

=（x，y，z），
则

m • AB1 =0 m • CB1 =0

，即

-x+y+2z=0 y+2z=0

，
取y=2，则平面AB₁C的一个法向量为

m

=（0，2，-1）；
设平面BAB₁的法向量为

n

=（r，s，t），
则

n • AB1 =0 n • AB  =0

，即

-r+s+2t=0 -r+s=0

，
取r=1，则平面BAB₁的一个法向量为

n

=（1，1，0）；
设二面角B-AB₁-C平面角的平面角为α，
则cosα=

| m • n |

| m |•| n  |

=

2

5 × 2

=

10

5

所以二面角B-AB₁-C平面角的余弦值为

10

5

．    …（10分）

点评：本题考查的知识点是直线与直线的夹角，二面角的平面角，建立空间坐标系，将空间夹角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．