Question

已知数列{a_n}满足a₁=

1

4

，a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

（n≥2，n∈N）．
（Ⅰ）试判断数列{

1

an

+（-1）ⁿ}是否为等比数列，并说明理由；
（Ⅱ）设c_n=a_nsin

(2n-1)π

2

，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：对任意的n∈N^*，T_n＜

2

3

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据等比数列的定义进行判断，即可得到结论．
（Ⅱ）求出数列{c_n}的通项公式，求出数列{c_n}的前n项和为T_n，即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）由an=

an-1

(-1)nan-1-2

得

1

an

=(-1)n-

2

an-1

，
所以

1

an

+(-1)n=2(-1)n-

2

an-1

=-2[

1

an-1

+(-1)n-1](n≥2)，
所以数列{

1

an

+(-1)n}是首项为

1

a1

+(-1)=3，
公比为-2的等比数列．
（Ⅱ）由（1）知

1

an

+(-1)n=3×(-2)n-1，
得an=

1

3(-2)n-1-(-1)n

=

(-1)n-1

3×2n-1+1

，
不管n为奇数还是偶数，都有Cn=

1

3×2n-1+1

＜

1

3×2n-1

，
所以T_n=C₁+C₂+…+C_n＜

1

3

(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)=

2

3

[1-(

1

2

)n]＜

2

3

，
即不等式成立．

点评：本题主要考查等比数列的应用及数列求和，根据数列的求和公式是解决本题的关键．