Question

已知等比数列{a_n}前n项和为S_n=2ⁿ-a，n∈N^*，设公差不为零的等差数列{b_n}满足：b₁=a₁+2，（b₄+5）²=（b₂+5）（b₈+5）．
（Ⅰ）求a_n及b_n；
（Ⅱ）设数列{log2 an}的前n项和为T_n，求使T_n＞b_n的最小的正整数n的值．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件求出前3项，由a22=a1a3，解得a=1，从而得到an=2n-1．由已知条件得（8+3d）²=（8+d）（8+7d），解得d=0（舍），或d=8．从而得到b_n=8n-5．n∈N^*．
（Ⅱ）由a_n=2^n-1，得log₂a_n=n-1，故由已知条件得到

1

2

n(n-1)＞8n-5，n∈N*，由此能求出使T_n＞b_n的最小的正整数n的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵等比数列{a_n}前n项和为S_n=2ⁿ-a，n∈N^*，
∴a₁=S₁=2-a₁，
a₂=S₂-S₁=2，
a₃=S₃-S₂=4，
∵a22=a1a3，∴2²=（2-a）•4，解得a=1，
∴an=2n-1．
∵公差不为零的等差数列{b_n}满足：b₁=a₁+2，
（b₄+5）²=（b₂+5）（b₈+5），
∴（8+3d）²=（8+d）（8+7d），
解得d=0（舍），或d=8．
∴b_n=8n-5．n∈N^*．
（Ⅱ）∵a_n=2^n-1，∴log₂a_n=n-1，
∴数列{log2 an}的前n项和为T_n=

n(0+n-1)

2

=

1

2

n(n-1)，
∵b_n=8n-5，T_n＞b_n，
∴

1

2

n(n-1)＞8n-5，n∈N*，
解得n≥17，
∴使T_n＞b_n的最小的正整数n的值为17．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的灵活运用．