Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PC⊥平面ABCD，PC=4，AB=6，BD=3

3

，∠DAB=60°．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PBC；
（Ⅱ）若E，F，G分别是线段BC，DC，PC上的动点，且EF=2，试探究多面体PDBGFE的体积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明DB⊥BC，PC⊥BD，即可证明BD⊥平面PBC；
（Ⅱ）当V_G-ECF存在最大值时，多面体PDBGFE的体积最小．

解答： （Ⅰ）证明：△BCD中，CD=AB=6，BD=3

3

，∠DCB=∠DAB=60°，
由正弦定理可得

3 3

sin60°

=

6

sin∠CBD

，
∴sin∠CBD=1，
∴∠CBD=90°，
∴DB⊥BC，
∵PC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PC⊥BD，
∵BC∩PC=C，
∴BD⊥平面PBC；
（Ⅱ）解：V_PDBGFE=V_P-BCD-V_G-ECF，
当V_G-ECF存在最大值时，多面体PDBGFE的体积最小．
∵PC⊥平面ABCD，
∴V_G-ECF=

1

3

S_△ECF•GC．
当G运动到P时，PC=4．
设CE=a，CF=b，则
∵EF=2，
∴由余弦定理得a²+b²-ab=4，
∴4+ab=a²+b²≥2ab，
∴ab≤4（当且仅当a=b=2时等号成立）．
∴S_△ECF=

1

2

CE•CF•sin∠DCB=

3

4

ab≤

3

，
∴a=b=2时，（S_△ECF）_max=

3

，
∴（V_G-ECF）_max=

1

3

•

3

•4=

4 3

3

．
∵V_P-BCD=

1

3

•

9 3

2

•4=6

3

，
∴多面体PDBGFE的体积的最小值为

14 3

3

．

点评：本题考查线面垂直的证明，考查多面体体积是计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．