Question

已知函数f（x）=4^x，数列{a_n}中，2a_n+1-2a_n+a_n+1a_n=0，a₁=1且a_n≠0，若数列{b_n}中，b₁=2且b_n=f（

1

an-1

）（n≥2）．
（Ⅰ）求证：数列{

1

an

}是等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{

bn

an

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由2a_n+1-2a_n+a_n+1a_n=0，得

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，

1

a1

=1，由此能证明数列{

1

an

}是首项为1，公差为

1

2

的等差数列，从而能求出an=

2

n+1

(n∈N*)．
（Ⅱ）b₁=2，当n≥2时，bn=f(

1

an-1

)=f(

n

2

)=2ⁿ，从而得到

bn

an

=(n+1)2n-1，由此利用错位相减法能求出数列{

bn

an

}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由2a_n+1-2a_n+a_n+1a_n=0，两边同时除以2a_n+1a_n，
得

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，

1

a1

=1，
∴数列{

1

an

}是首项为1，公差为

1

2

的等差数列，（3分）
∴

1

an

=1+(n-1)

1

2

=

n+1

2

，
∴an=

2

n+1

(n∈N*)．（6分）
（Ⅱ）b₁=2，当n≥2时bn=f(

1

an-1

)=f(

n

2

)=2ⁿ
当n=1时b₁=2也符合
∴b_n=2ⁿ（n∈N^*）
∴

bn

an

=(n+1)2n-1（8分）
Tn=2×20+3×21+4×2²+…+（n+1）×2^n-1①
2T_n=2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1+（n+1）×2ⁿ②（10分）
①-②得-Tn=-n•2n
∴Tn=n•2n（12分）

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．