Question

已知函数f（x）=

1

x

-log₂

1+x

1-x

．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据使函数解析式有意义的原则，构造关于x的不等式组，解得函数f（x）的定义域；
（2）先分析函数f（x）的定义域关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，进而根据函数奇偶性的定义判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）结合反比例函数的单调性，对数函数的单调性，复合函数单调性“同增异减”的原则，结合减-增=减的性质，可判断出f（x）在区间（0，1）上的单调性．

解答： 解：（1）由题可知

x≠0 1+x 1-x ＞0

，解得x∈（-1，0）∪（0，1），
所以函数f（x）的定义域为（-1，0）∪（0，1）．          （4分）
（2）函数f（x）是奇函数．
事实上，函数f（x）的定义域关于原点对称，
且对定义域内的任意x，有
f（-x）=

1

-x

-log₂

1-x

1+x

=-（

1

x

-log₂

1+x

1-x

）=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数．                         （8分）
（3）由反比例函数的性质可得：
y=

1+x

1-x

=

-2

x-1

-1在区间（0，1）上为增函数，
故y=log₂

1+x

1-x

在区间（0，1）上为增函数，
又由y=

1

x

在区间（0，1）上为减增函数，
故f（x）在区间（0，1）上为减函数．（12分）

点评：本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，函数的定义域，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．