Question

已知函数f（x）=

1-x

ax

+lnx（a＞0）．
（1）若f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（2）求f（x）在[

1

2

，2]上的最小值h（a）的表达式；
（3）当a=1时，求证：当n∈N^*，n＞1时都有lnx＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f′（x）=

ax-1

ax2

，（a＞0），且f（x）在[1，+∞）上为增函数，得ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，解出即可．
（2）令f′（x）=0，解得x=

1

a

，分别讨论①当0＜

1

a

＜

1

2

，②当

1

2

≤

1

a

≤2，③当

1

a

＞2的情况，从而得出h（a）的表达式．
（3）当a=1时，f（x）=

1-x

x

+lnx，f′（x）=

x-1

x2

，得f（

n

n-1

）=-

1

n

+ln

n

n-1

＞0，从而有ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

，证出lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．

解答： 解：（1）∵f′（x）=

ax-1

ax2

，（a＞0），且f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴f′（x）≥0对x∈[1，+∞）恒成立，
∴ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，
即a≥

1

x

对x∈[1，+∞）恒成立，
∴a≥1；
（2）令f′（x）=0，解得x=

1

a

，
∵a＞0，∴

1

a

＞0． 对于x∈[

1

2

，2]，
①当0＜

1

a

＜

1

2

，即a＞2时，f′（x）＞0，
∴f（x）在[

1

2

，2]上为增函数，
∴f（x）_min=f（

1

2

）=

1

a

-ln2，
②当

1

2

≤

1

a

≤2，即

1

2

≤a≤2时，
若x∈（

1

2

，

1

a

）时，f′（x）＜0，若x∈（

1

a

，2）时′f（x）＞0，
∴f（x）_min=f（x）_极小值=f（

1

a

）=1-

1

a

-lna，
③当

1

a

＞2，即0＜a＜

1

2

时，f′（x）＜0，
∴f（x）在[

1

2

，2]上为减函数，
∴f（x）_min=f（2）=ln2-

1

2a

，
综上：h（a）=

ln2- 1 2a  ，          (0＜a＜ 1 2 ) 1- 1 a -lna，          ( 1 2 ≤a≤2) 1 a -ln2                 (a≥2)

；
（3）当a=1时，f（x）=

1-x

x

+lnx，f′（x）=

x-1

x2

，
故f（x）在[1，+∞）上为增函数．
当n＞1时，令x=

n

n-1

，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0，
∴f（

n

n-1

）=-

1

n

+ln

n

n-1

＞0，
即ln

n

n-1

＞

1

n

，
∴ln

2

1

＞

1

2

，ln

3

2

＞

1

3

，…ln

n

n-1

＞

1

n

，
∴ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

，
∴lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，以及求函数的最值问题，不等式的证明问题，本题是一道综合题．