Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a₁=1．已知向量

a

=（2，a_n），

b

=（n+1，S_n）（n∈N^*），且存在常数λ，使

a

=λ

b

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹（n∈N^*），求数列{a_n+b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与向量的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得2S_n=（n+1）a_n，由此求出

an+1

n+1

=

an

n

对任意的n∈N^*恒成立，从而得到a_n=n．
（2）由a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹（n∈N^*），得a₁b₁+a₂b₂+…+a_n+1b_n+1=2+n•2ⁿ⁺²（n∈N^*），两式相减，得an+1bn+1=(n+1)•2n+1，由此求出bn=2n（n∈N^*）．由此利用分组求和法能求出数列{a_n+b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵存在常数λ，使

a

=λ

b

，∴

a

∥

b

，
∴2S_n=（n+1）a_n，①
∴2S_n+1=（n+2）a_n+1，②
②-①，得：2a_n+1=（n+2）a_n+1-（n+1）a_n，
整理，得

an+1

n+1

=

an

n

对任意的n∈N^*恒成立，
∴{

an

n

}是常数列，∴

an

n

=

a1

1

=1，
∴a_n=n．
（2）∵a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹（n∈N^*），
∴a₁b₁+a₂b₂+…+a_n+1b_n+1=2+n•2ⁿ⁺²（n∈N^*），
两式相减，得an+1bn+1=(n+1)•2n+1，
由（1）知a_n+1=n+1，∴bn+1=2n+1，
∴b_n=2ⁿ，n≥2，
∵a₁b₁=2，∴b₁=2，
∴bn=2n（n∈N^*）．
∴T_n=（1+2+3+…+n）+（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=

n(n+1)

2

+

2(1-2n)

1-2

=

n(n+1)

2

+2n+1-2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．