Question

设f（x）=ax²-6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，3）．
（1）确定a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用

分析：（1）由f′（x）=

2ax2-6

x

，（x＞0）得f′（1）=2a-6，从而切线方程为：y-a=（2a-6）（x-1），令x=0，得：y=6-a，进而求出a的值，
（2）由（1）得f′（x）=

6(x+1)(x-1)

x

，（x＞0），从而f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，进而f（x）的极小值是f（1）=3，无极大值．

解答： 解：（1）∵f′（x）=

2ax2-6

x

，（x＞0）
∴f′（1）=2a-6，
又f（1）=a，
∴切线方程为：y-a=（2a-6）（x-1），
令x=0，得：y=6-a，
∴6-a=3，
∴a=3；
（2）由（1）得f′（x）=

6(x+1)(x-1)

x

，（x＞0），
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴f（x）的极小值是f（1）=3，无极大值．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，参数的求法，是一道基础题．