Question

已知正实数x₁，x₂及函数f（x）满足2^x=

1+f(x)

1-f(x)

，且f（x₁）+f（x₂）=1，则f（x₁+x₂）的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用

分析：先解出f（x） 的解析式，根据f（x₁）+f（x₂）=1 以及基本不等式可求得2(x1+x2)≥9，由此求得f（x₁+x₂）的最小值．

解答： 解：∵2^x=

1+f(x)

1-f(x)

，∴f（x）=

2x-1

2x+1

，∵f（x₁）+f（x₂）=1，
∴

2x1-1

2x1+1

+

2x2-1

2x2+1

=1，通分并化为整式得 
 2(x1+x2)-3=2x1+2x2≥2 

2x1•2x2

，即 2(x1+x2)≥2

2x1+x2

+3，
∴2(x1+x2)≥9．
f（x₁+x₂）=

2x1+x2-1

2x1+x2+1

=1-

2

2x1+x2+1

≥1-

2

9+1

=

4

5

，
故答案为：

4

5

．

点评：本题考查函数与方程的应用，求函数的解析式，指数幂的运算法则，以及基本不等式的应用，属于中档题．