Question

已知函数f（x）=log₂（x+1），将y=f（x）的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求函数F（x）=f（x）-g（x）的最大值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数的图象与图象变化

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：根据函数的图象的平移变换和伸缩变换规律求得函数g（x）的解析式．根据y=F（x）=f（x）-g（x）=log₂（x+1）-2log₂（x+2）=log₂

x+1

(x+2)2

，且x＞-1利用基本不等式求得u的最大值为

1

4

，再由F（x）=log₂u 在（0，+∞）上是增函数，求得函数y=F（x）的最大值．

解答： 解：将函数f（x）=log₂（x+1）的图象向左平移1个单位，可得函数y=log₂（x+2）的图象，
再将图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=2log₂（x+2）的图象，
故函数g（x）=2log₂（x+2），且x＞-2．
函数y=F（x）=f（x）-g（x）=log₂（x+1）-2log₂（x+2）=log₂

x+1

(x+2)2

，且x＞-1
令u（x）=

x+1

(x+2)2

，x＞-1
令t=x+1，则u=

1

t+ 1 t +2

≤

1

4

，当且仅当x=0时取等号．
故F（x）=log₂u，由于F（x）=log₂u 在（0，+∞）上是增函数，
故当x=0时，即u=

1

4

时，函数y=F（x）=log₂u取得最大值为-3．

点评：本题主要考查函数的图象的平移变换和伸缩变换，基本不等式的应用，利用函数的单调性求函数的最值，属于中档题．