Question

当0＜x＜1时，f（x）=

sinx

x

，则下列大小关系正确的是（　　）

• A、f²（x）＜f（x）＜f（x²）
• B、f（x²）＜f²（x）＜f（x）
• C、f（x）＜f（x²）＜f²（x）
• D、f²（x）＜f（x²）＜f（x）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：根据不等式的性质，以及函数单调性和导致之间的关系判断函数f（x）的单调性即可得到结论．

解答： 解：根据三角函数线的定义知|sinx|≤|x|，∴

|sinx|

|x|

≤1，
∵0＜x＜1，∴0＜

sinx

x

＜1成立，即0＜f（x）＜1，则f²（x）＜f（x），
∵f（x）=

sinx

x

，∴f′（x）=

xcosx-sinx

x2

，
设g（x）=xcosx-sinx，则g′（x）=-xsinx＜0，（0＜x＜1），
∴g（x）在0＜x＜1上单调递减，
则g（x）＜g（0）=0，
∴f′（x）=

xcosx-sinx

x2

＜0，即在0＜x＜1上f（x）单调递减，
∵此时x＞x²，
∴f²（x）＜f（x）＜f（x²），
故选：A．

点评：本题主要考查函数的值的大小比较，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．