Question

已知函数f（x）=e^x（ax+b）-x²+4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=2x-3．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：常规题型,导数的概念及应用

分析：根据切线的斜率等于函数在切点处的导数，及切点在曲线上和直线上，很容易求出a，b，所以求出原函数．对于第二问讨论f（x）的单调性，很容易想到用导数判断．对于求f（x）的极小值，根据极小值的定义求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x（ax+b）+ae^x-2x+4由条件可得：f（0）=b，b+a+4=2，f（0）=-3，所以解得a=1，b=-3，所以f（x）=e^x（x-3）-x²+4x．
（Ⅱ）令f′（x）=e^x（x-3）+e^x-2x+4=（x-2）（e^x-2）=0得：x=2，或x=ln2，所以将R分成区间（-∞，ln2），[ln2，2）和[2，+∞）所以
（1）x∈（-∞，ln2）时：0＜ln2＜1，所以x-2＜0；e^x＜e^ln2=2，所以e^x-2＜0，所以f′（x）＞0，所以f（x）在（-∞，ln2]上单调递增；
（2）x∈（ln2，2）时：x-2＜0，e^x-2＞0，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（ln2，2）上单调递减；
（3）x∈（2，+∞）时：x-2＞0，e^x＞e²＞4，所以e^x-2＞0，所以f′（x）＞0，所以f（x）在（2，+∞）上单调递减．
由（2）（3）知x=2时，原函数取到极小值，极小值为：4-e²．

点评：本题需要掌握的知识点有：1．函数在切点处的导数等于切线的斜率．
2．切点既在曲线上，又在切线上．
3．通过求导数来寻找单调区间的方法．
4．极值的概念．