Question

已知正项等比数列{a_n}满足a₂=

1

9

，a₄=

1

81

，n∈N^*
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b_n=log₃a_n•log₃a_n+1，求数列{

1

bn

}的前n和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设公比为q，由已知条件得

a4

a2

=

1

9

=q2，从而得到q=

1

3

，或q=-

1

3

．由此利用分类思想能求出数列{a_n}通项公式．
（Ⅱ）由b_n=log₃|a_n|•log₃|a_n+1|=n（n+1），得

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂项求和法能求出数列{

1

bn

}的前n和T_n．

解答： 角：（Ⅰ）设公比为q，∵a₂=

1

9

，a₄=

1

81

，n∈N^*，∴

a4

a2

=

1

9

=q2，
∴q=

1

3

，或q=-

1

3

．
①当q=

1

3

时，a1=

1 9

1 3

=

1

3

，
an=(

1

3

)n，n∈N^*．
②q=-

1

3

时，a1=

1 9

- 1 3

=-

1

3

，
an=(-

1

3

)n，n∈N^*．
（Ⅱ）∵b_n=log₃|a_n|•log₃|a_n+1|=n（n+1），
∴

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，n∈N^*．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．