Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₄=12，S₆=30．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b_n+1=2b_n-a_n且b₁=4，
（i）证明：数列{b_n-2n}是等比数列，并求{b_n}的通项；
（ii）当n≥2时，比较b_n-1•b_n+1与b_n²的大小．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，依题意，布列关于首项a₁与公差d的方程组，解之即可求得a_n；
（Ⅱ）（i）由已知得b_n+1=2b_n-2n+2，易证数列{b_n-2n}是以2为首项，2为公比的等比数列，继而可得{b_n}的通项；
（ii）作差比较，整理可得b_n-1•b_n+1-b_n²=2ⁿ（n-3）-4，通过对n取值情况的讨论，可得b_n-1•b_n+1与b_n²的大小．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，由已知得

4a1+ 4×3 2 d=12 6a1+ 6×5 2 d=30

，…3分
解得

a1=0 d=2

，所以a_n=2n-2…5分
（Ⅱ）（i）由已知得b_n+1=2b_n-2n+2，即b_n+1-2（n+1）=2（b_n-2n）且b₁-2=2，
所以数列{b_n-2n}是以2为首项，2为公比的等比数列…8分
则b_n-2n=2ⁿ，所以b_n=2ⁿ+2n…10分
（ii）当n≥2时，b_n-1•b_n+1-b_n²=[2^n-1+2（n-1）][2ⁿ⁺¹+2（n+1）]-（2ⁿ+2n）²
=2²ⁿ+2ⁿ（n+1）+2ⁿ×4（n-1）+4（n²-1）-（2²ⁿ+4n×2ⁿ+4n²）
=2ⁿ（n-3）-4…13分
所以当n=2或n=3时，b_n-1•b_n+1＜b_n²…14分
当n≥4时，b_n-1•b_n+1＞b_n²…15分

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式与等比关系的确定，突出考查作差法在比较大小中的应用，属于难题．