Question

已知{a_n}满足a₁=3，a_n+1=2a_n+1，
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）求证：{a_n+1}是等比数列；并求出a_n的表达式．

Answer 1

考点：等比数列的性质,数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用{a_n}满足a₁=3，a_n+1=2a_n+1，即可求a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）由a_n+1=2a_n+1，可得an+1+1=2an+2=2(an+1)，(n∈N*)，即可得出结论．

解答： （1）解：∵a₁=3，∴a₂=2a₁+1=7，
同理，a₃=15，a₄=31，a₅=63
（2）证明：∵an+1=2an+1，(n∈N*)，
∴an+1+1=2an+2=2(an+1)，(n∈N*)
又a₁+1=4≠0
∴数列{a_n+1}是以4为首项，2为公比的等比数列
∴an+1=4×2n-1=2n+1an=2n+1-1，（n∈N^*）

点评：本题属于容易题，主要考查了递推公式的应用以及等比数列的定义和通项公式的求法．