Question

已知函数f（x）=（x²-ax+a）e^x-x²，a∈R．
（Ⅰ）设函数g（x）=

f(x)

x

，当a=0时．讨论g（x）的单调性．
（Ⅱ）若函数f（x）在x=0处取得极小值，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）通过题目给的条件很容易求出g（x），要讨论g（x）的单调性，很容易想到求导数的办法，g′（x）=（x+1）e^x-1，要讨论g（x）的单调性，就要判断g′（x）的符号，通过观察g′（x）会发现x＜0时，g'（x）＜0；x＞0时，g'（x）＞0，这样g（x）的单调区间就会得到．
（Ⅱ）通过极小值的定义：x＜0时f'（x）＜0；x＞0时，f'（x）＞0，会得到（x+2-a）e^x-2＞0，然而怎样让这个不等式恒成立，可能就能求出a的单调区间了．

解答： 解：（Ⅰ）由题知，a=0时，g（x）=xe^x-x 所以g'（x）=（x+1）e^x-1，
显然当x＜0时，g'（x）＜0，当x＞0时，g'（x）＞0，∴g（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）f'（x）=（x²+（2-a）x）e^x-2x=x[（x+2-a）e^x-2]；
由于函数f（x）在x=0处取得极小值，所以x＜0时f'（x）＜0，所以（x+2-a）e^x-2＞0；
同样，x＞0时，f'（x）＞0，（x+2-a）e^x-2＞0；
若设h（x）=（x+2-a）e^x-2，则h′（x）=e^x（x+3-a），所以在（-∞，a-3）上h′（x）＜0，所以h（x）在（-∞，a-3）上单调递减；
同样h（x）在（a-3，+∞）上单调递增．则h（0）≥0就会使（x+2-a）e^x-2＞0恒成立；
所以2-a-2≥0，所以a≤0，所以a的取值范围是：（-∞，0]．

点评：对于第一问很容易想到求导数来判断函数的单调性，在求出倒数g′（x）=（x+1）e^x-1之后，要观察出分x＜0和x＞0来判断g′（x）的符号．对于第二问，显然需要用上极小值的定义，会得到h（x）=（x+2-a）e^x-2，在这里要注意判断h（x）的单调性，并求单调区间，这样h（0）≥0就能得到了．