Question

如图，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC=

1

2

CP=2，D是CP中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥面ABCD；
（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）若E是PC的中点．求三棱锥A-PEB的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明AD⊥底面PCD，利用面面垂直的判定，可得平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）证明点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离，利用等体积转换，即可求三棱锥A-PEB的体积．

解答： （Ⅰ）证明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD．…（1分）
又由于CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC
∴正方形ABCD，∴AD⊥CD，…（3分）
又PD∩CD=D，故AD⊥底面PCD，…（5分）
∵AD?平面PAD，∴PAD⊥底面PCD                    …（6分）
（Ⅱ）解：∵AD∥BC，BC?平面PBC，AD?平面PBC，∴AD∥平面PBC
∴点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离              …（7分）
又∵PD=DC，E是PC的中点
∴PC⊥DE
由（Ⅰ）知有AD⊥底面PCD，∴有AD⊥DE．
由题意得AD∥BC，故BC⊥DE．
又∵PC∩BC=C
∴DE⊥面PBC．…（9分）
∴DE=

2

，PC=2

2

，
又∵AD⊥底面PCD，∴AD⊥CP，
∵AD∥BC，∴AD⊥BC
∴S△PEB=

1

2

S△PBC=

1

2

×(

1

2

×BC×PC)=

2

∴VA-PEB=VD-PEB=

1

3

×DE×S△PEB=

2

3

…（12分）

点评：本题考查面面垂直，考查三棱锥体积的计算，解题的关键是掌握面面垂直的判定定理，正确转换底面，属于中档题．