Question

已知∈R，函数f（x）=x²-2alnx．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和最值；
（2）若a＞0，试证明：“方程f（x）=2ax有唯一解”的充要条件是“a=

1

2

”．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=2x-

2a

x

=2•

x2-a

x

，（x＞1），再讨论（1）若a≤1，x＞1，（2）若a＞1，x＞1的情况，从而得出结论，
（Ⅱ）记g（x）=x²-2alnx-2ax，g′（x）=

2

x

（x²-ax-a），分别证明（1）充分性（2）必要性，从而得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=2x-

2a

x

=2•

x2-a

x

，（x＞1），
（1）若a≤1，x＞1，则f′（x）＞0，
∵f（x）在[1，+∞）上连续，
∴f（x）在[1，+∞）上是单调递增函数．
∴当a≤1，x≥1时，f（x）_min=f（1）=1，
（2）若a＞1，x＞1，令f′（x）=0，得x=

a

，
当x∈（1，

a

）时，f′（x）＜0，f（x）在[1，+∞）上连续，f（x）在[1，

a

）上是单调递减函数．
当x∈（

a

，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在[

a

，+∞）上是单调递增函数．
则x=

a

时，f（x）取得最小值．
∴当a＞1，x≥1时，f（x）_min=a-alna，
∴g（a）=

1              (a≤1) a-alna，   (a＞1)

，
（Ⅱ）记g（x）=x²-2alnx-2ax，
g′（x）=

2

x

（x²-ax-a），
（1）充分性：若a=

1

2

，则g（x）=x²-lnx-x，
g′x）=

1

x

（2x+1）（x-1），
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上是单调递减函数；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上是单调递增函数．
∴当x=1时，g（x）_min=g（1）=0，即g（x）≥0，当且仅当x=1时取等号．
∴方程f（x）=2ax有唯一解．
（2）必要性：若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解．
令g′（x）=0，得x²-ax-a=0，
∵a＞0，x＞0，
∴x₁=

a- a2+4a

2

（舍），x₂=

a+ a2+4a

2

，
当x∈（0，x₂ ）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂ ）上是单调递减函数；
当x∈（x₂，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上是单调递增函数．
∴当x=x₂时，g′（x₂）=0，g（x）_min=g（x₂ ），
∵g（x）=0有唯一解，∴g（x₂）=0．
则

g(x2)=0 g′(x2)=0

，即

x22-2alnx2-2ax2=0 x22-ax2-a=0

，
∴2alnx₂+ax₂-a=0，
∵a＞0，∴2lnx₂+x₂-1=0①，
设函数h（x）=2lnx+x-1，
∵在x＞0时h（x）是增函数，∴h（x）=0至多有一解．
∵h（1）=0，∴方程①的解为x₂=1，即

a+ a2+4a

2

=1，解得a=

1

2

，
由（1）、（2）知，“方程f（x）=2ax有唯一解”的充要条件是“a=

1

2

”．

点评：本题考察了利用导数研究函数的单调性，充分条件，必要条件的证明，本题是一道综合题．