Question

在多面体ABCDE中，AE⊥平面ABC，AE∥BD，AB=BC=CA=BD=2AE=2
（Ⅰ）求证：平面EDC⊥平面BDC；
（Ⅱ）设F为AB的中点，求直线CF与平面EDC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）通过平面与平面垂直的性质定理，证明EP⊥平面BCD．
（Ⅱ）利用体积法求出F到平面DEC的距离h，再求出直线CF与平面EDC所成角的正弦值．

解答： （本题满分14分）
解、（I）取CD、CB的中点P、N，连接EP，PN，NA，则PN∥BD，且PN=

1

2

BD，∴EP∥AN…（3分）
因为，AB=BC=CA，AN⊥BC，…（4分）
因为，AE⊥平面ABC，AE∥BD，所以，平面ABC⊥平面BDC，…（6分）
∴AN⊥平面BDC，∴EP⊥平面BDC…（8分）
∴平面EDC⊥平面BDC…（9分）
（II）EC=DE=DF=

5

，EF=

2

，CF=

3

，DC=2

2

，∴S△DEC=

6

，S△EDF=

3

2

，…（10分）
设F到平面DEC的距离为h，由CF垂直平面ABDE和V_F-EDC=V_C-EDF，得h=

3

2 2

．…（12分）
设直线CF与平面EDC所成角为θ，则sinθ=

6

4

…（14分）

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面所成角的求法，特别是利用等体积法求得F到平面DEC的距离h是关键，考查空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力．