Question

已知点P是椭圆

x2

4

+y²=1与双曲线x²-

y2

2

=1的一个交点，F₁，F₂是椭圆的左右焦点，则cos∠F₁PF₂=

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由椭圆和双曲线的定义，得到|PF₁|+|PF₂|=4且||PF₁|-|PF₂||=2，联解得到|PF₁|²+|PF₂|²=10且2|PF₁|•|PF₂|=6，再算出椭圆的焦距，利用余弦定理加以计算即可算出∠F₁PF₂的余弦值．

解答： 解：根据椭圆的定义，可得|PF₁|+|PF₂|=2a=4…①
由双曲线的定义，可得||PF₁|-|PF₂||=2a'=2…②
①②联解，得|PF₁|²+|PF₂|²=10且2|PF₁|•|PF₂|=6，
又∵点F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，
∴|F₁F₂|=2

3

，可得|F₁F₂|²=12，
△F₁PF₂中，cos∠F₁PF₂=

10-12

6

=-

1

3

故答案为：-

1

3

．

点评：本题在双曲线与椭圆中，求△F₁PF₂中cos∠F₁PF₂的值．着重考查了椭圆、双曲线的定义与标准方程和余弦定理解三角形等知识，属于中档题．