Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+1

．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：对一切正整数n，有

a1

1

+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

n

＜

7

4

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出{

1

an

}是以1为首项，1为公差的等差数列，由此能求出an=

1

n

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

an

n

=

1

n2

，n∈N^*，所以

a1

1

+

a2

2

+…+

an

n

=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

4

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

，由此能证明

a1

1

+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

n

＜

7

4

．

解答： 解：（1）∵an+1=

an

an+1

，a₁=1，
∴a_n≠0，∴

1

an+1

=

1

an

+1，
∴

1

an+1

-

1

an

=1，
∴{

1

an

}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴

1

an

=

1

a1

+(n-1)×1=1+n-1=n，
∴an=

1

n

．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知

an

n

=

1

n2

，n∈N^*，

a1

1

+

a2

2

+…+

an

n

=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

4

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

=1+

1

4

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=

7

4

-

1

n

＜

7

4

．
∴

a1

1

+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

n

＜

7

4

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意放缩法的合理运用．