Question

已知数列{a_n}的各项均为正整数，且a₁=1，a₂=4，a_n=

an-1an+1+1

，n≥2，n∈N^*．
（1）求a₃，a₄的值；
（2）求证：对一切正整数n，2a_na_n+1+1是完全平方数．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）直接利用已知条件求解a₃，a₄的值；
（2）通过已知条件猜想2anan+1+1=(an+1-an)2，然后利用数学归纳法的步骤证明对一切正整数n，2a_na_n+1+1是完全平方数．

解答： 解：（1）由a2=

a1a3+1

得，a₃=15，
由a3=

a2a4+1

得，a₄=56．                  …（2分）
（2）2a1a2+1=9=(a2-a1)2，2a2a3+1=121=(a3-a2)2，2a3a4+1=1681=(a4-a3)2，
猜想：2anan+1+1=(an+1-an)2．下面用数学归纳法证明．   …（5分）
证明：①当n=1，2时，已证；
②假设当n=k（k≥2，k∈N^*）时，2akak+1+1=(ak+1-ak)2成立，
那么，当n=k+1时，由ak+1=

akak+2+1

知，ak+12-1=akak+2，即ak+2=

ak+12-1

ak

，
又由2akak+1+1=(ak+1-ak)2知，ak+12-1=4akak+1-ak2，
所以ak+2=

4akak+1-ak2

ak

=4ak+1-ak，
所以ak+22=4ak+1ak+2-akak+2=4ak+1ak+2-ak+12+1，
所以(ak+2-ak+1)2=2ak+1ak+2+1，
即当n=k+1时，命题也成立．
综上可得，对一切正整数n，2a_na_n+1+1是完全平方数．…（10分）

点评：本题考查归纳推理以及数学归纳法的证明步骤的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．