Question

已知数列{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，且a₁=11，b₁=1，a₂+b₂=11，a₃+b₃=11．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{|a_n-b_n|}的前n项的和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，依题意，得

11+d+q=11 1+2d+q2=11

，解之即可求得数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：|a_n-b_n|=|13-2n-2^n-1|；通过对0＜n≤3与n＞3的讨论，去掉绝对值符号后分利用分组求和的方法即可求得数列{|a_n-b_n|}的前n项的和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，则

11+d+q=11 1+2d+q2=11

，解得

q=2 d=-2

，
所以a_n=-2n+13，b_n=2^n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：|a_n-b_n|=|13-2n-2^n-1|；
（i）0＜n≤3时，a_n＞b_n，a_n-b_n=13-2n-2^n-1，S_n=

(11-2n+13)n

2

-

1×(1-2n)

1-2

=-2ⁿ-n²+12n+1，且S₃=20；
（ii）n＞3时，a_n＜b_n，|a_n-b_n|=b_n-a_n=2^n-1-（13-2n），
S_n-S₃=

8(1-2n-3)

1-2

-

(5-2n+13)(n-3)

2

=2ⁿ+n²-12n+19，
∴S_n=2ⁿ+n²-12n+39；
综上所述，S_n=

-2n-n2+12n+1(0＜n≤3) 2n+n2-12n+39(n≥4)

．

点评：本题考查等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查方程思想与分类讨论思想、等价转化思想的综合应用，属于难题．