Question

已知等差数列{a_n}的公差不为零，a₁=25且a₁、a₁₁、a₁₃成等比数列．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1=70，求n的值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的通项公式和等比数列的性质求出公差，由此能求出a_n=-2n+27．
（Ⅱ）由a_n=-2n+27，得{a_2n-1}是首项为a₁=25，公差为d=-4的等差数列，所以a₁+a₃+…+a_2n-1=27n-2n²，由此根据a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1=70，得27n-2n²=70，从而能求出n的值．

解答： 解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，由题意得a112=a1a13，
∴(a1+10d)2=a1(a1+12d)，
∵a₁=25，∴d=0（舍），或d=-2，
∴a_n=25+（n-1）×（-2）=-2n+27．
（Ⅱ）∵a_n=-2n+27，
∴a_2n-1=-2（2n-1）+27=-4n+29，
∴{a_2n-1}是首项为a₁=25，公差为d=-4的等差数列，
∴a₁+a₃+…+a_2n-1
=

n

2

(a1+a2n-1)
=27n-2n²，
∵a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1=70，
∴27n-2n²=70，
解得n=10或n=

7

2

（舍），
∴n=10．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的项数n的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．