Question

若二阶矩阵M满足：M

1 2 3 4

=

5 8 4 6

．
（Ⅰ）求二阶矩阵M；
（Ⅱ）若曲线C：x²+2xy+2y²=1在矩阵M所对应的变换作用下得到曲线C′，求曲线C′的方程．

Answer 1

考点：矩阵与向量乘法的意义,变换、矩阵的相等

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（Ⅰ）先求矩阵的逆矩阵，即可求二阶矩阵M；
（Ⅱ）设二阶矩阵M所对应的变换，根据矩阵变换求出坐标之间的关系，代入已知曲线求出所求曲线即可．

解答： 解：（Ⅰ）设A=

1 2 3 4

，则|A|=

.

1 2 3 4

.

=-2，∴A-1=

-2 1 3 2 - 1 2

，…（2分）
∴M=

5 8 4 6

-2 1 3 2 - 1 2

=

2 1 1 1

．            　 …（3分）
（Ⅱ）∵M

x y

=

x′ y′

∴

x y

=M-1

x′ y′

=

1 -1 -1 2

x′ y′

，
即

x=x′-y′ y=-x′+2y′

…（4分）
代入x²+2xy+2y²=1可得（x'-y'）²+2（x'-y'）（-x'+2y'）+2（-x'+2y'）²=1，即x'²-4x'y'+5y'²=1，
故曲线C'的方程为x²-4xy+5y²=1．        …（7分）

点评：本题主要考查来了逆矩阵与矩阵变换的性质，熟练掌握矩阵的运算法则是解答的关键，属于基础题．