Question

如图，已知正方形ABCD和矩形BDFE所在的平面互相垂直，AC交BD于O点，M为EF的中点，BC=

2

，BF=1
（Ⅰ）求证：BC⊥AF：
（Ⅱ）求证：BM∥平面ACE；
（Ⅲ）求二面角B-AF-C的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得FB⊥平面ABCD，所以FB⊥BC，由正方形性质得BC⊥AB，从而得到BC⊥面ABF，由此能证明BC⊥AF．
（Ⅱ）连结EO，由已知得BMEO是平行四边形，由此能证明BM∥平面ACE．
（Ⅲ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AF-C的大小．

解答： （Ⅰ）证明：∵正方形ABCD和矩形BDFE所在的平面互相垂直，
∴FB⊥平面ABCD，∵BC?平面ABCD，∴FB⊥BC，
∵ABCD是正方形，∴BC⊥AB，
∵AB∩FB=B，∴BC⊥面ABF，
∵AF?平面ABF，∴BC⊥AF．
（Ⅱ）证明：连结EO，
∵AC交BD于O点，M为EF的中点，
∴BM

∥

.

BO，∴BMEO是平行四边形，
∴OE∥BM，
又BM不包含于平面ACE，OE?平面ACE，
∴BM∥平面ACE．
（Ⅲ）解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，
建立空间直角坐标系，
B（

2

，

2

，0），A（

2

，0，0），F（

2

，

2

，1），C（0，

2

，0），

AB

=(0，

2

，0)，

AF

=(0，

2

，1)，

AC

=（-

2

，

2

，0），
设平面CAF的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • AC =- 2 x+ 2 y=0 n • AF = 2 y+z=0

，取x=

2

，得

n

=(

2

，

2

，-2)，
又平面ABF的法向量

m

=(1，0，0)，
∴cos＜

n

，

m

＞=

2

8

=

1

2

，∴＜

n

，

m

＞=60°，
∴二面角B-AF-C的平面角为60°．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．