Question

已知函数f（x）=

1

ax+2

（x∈R，a为常数），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是函数y=f（x）图象上的两点．当线段P₁P₂的中点P的横坐标为

1

2

时，P的纵坐标恒为

1

4

．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）若数列{a_n}的通项公式为a_n=f（

n

n0

）（n₀∈N^*，n=1，2，…，n），求数列{a_n}的前n₀和S_n0．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据点P的坐标与函数之间的关系，即可求y=f（x）的解析式；
（2）求出数列的通项公式，利用构造方程即可得到结论．

解答： 解：（1）由y=f（x）的图象上得y1=

1

ax1+2

，y2=

1

ax2+2

，
两式相加得

1

2

=

1

ax1+2

+

1

ax2+2

，化简得ax1+x2=4恒成立．
∵x₁+x₂=1，∴a=4，
∴f(x)=

1

4x+2

．
（2）

k n0 + n0-k n0

2

=

1

2

(k=1，2，3，…，n0-1)，
∴由已知条件得

f( k n0 )+f( n0-k n0 )

2

=

1

4

，即f(

k

n0

)+f(

n0-k

n0

)=

1

2

，
∴Sn=f(

1

n0

)+f(

2

n0

)+f(

3

n0

)+…+f(

n0-1

n0

)+f(

n0

n0

)，
∴Sn0=f(

n0-1

n0

)+f(

n0-2

n0

)+…+f(

3

n0

)+f(

2

n0

)+f(

1

n0

)+f(

n0

n0

)，两式相加得：
2Sn0=[f(

1

n0

)+f(

n0-1

n0

)]+[f(

2

n0

)+f(

n0-2

n0

)]+…+[f(

n0-2

n0

)+f(

2

n0

)]+[f(

n0-1

n0

)+f(

1

n0

)]+2f(

n0

n0

)
=

1

2

+

1

2

+…+

1

2

+2f(1)=

1

2

(n0-1)+2•

1

6

，
∴Sn0=

3n0-1

12

．

点评：本题主要考查函数解析式的求解以及数列求和的计算，综合性较强，运算量较大．