Question

设函数f（x）=e^x-ax-2，其导函数为f′（x）．
（1）若a=1，求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若k为整数，若x＞0时，k＜

x+1

ex-1

+x恒成立，试求k的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）因为a=1时，f（x）=e^x-x-2，所以f'（x）=e^x-1，f'（0）=-1，代入点斜式方程，求出切线方程即可；
（2）f（x）的定义域为R，f'（x）=e^x-a，若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；若a＞0，f'（x）=0，解得x=lna，从而求出单调区间；
（3）由k＜

x+1

ex-1

+x(x＞0)①，令g(x)=

x+1

ex-1

+x，则g′(x)=

-xex-1

(ex-1)2

+1=

ex(ex-x-2)

(ex-1)2

．得h（x）在（0，+∞）存在唯一的零点，故g'（x）在（0，+∞）存在唯一的零点a，由g（x）_min=g（a）=

a+1

ea-1

+a．从而g（a）=a+1∈（2，3）．由于①式等价k＜g（a），故求出整数K的最大值．

解答： 解：（1）因为a=1时，f（x）=e^x-x-2，所以f'（x）=e^x-1，f'（0）=-1，
故切线方程是y=-1
（2）f（x）的定义域为R，f'（x）=e^x-a，
若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
若a＞0，f'（x）=0，解得x=lna，
当x变化时，f'（x），f（x）变化如下表：

x	（-∞，lna）	lna	（lna，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	减	极小值	增

所以f（x）的单调减区间是：（-∞，lna），增区间是：（lna，+∞）．
（3）即k＜

x+1

ex-1

+x(x＞0)①，
令g(x)=

x+1

ex-1

+x，则g′(x)=

-xex-1

(ex-1)2

+1=

ex(ex-x-2)

(ex-1)2

．
由（1）知，函数h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）存在唯一的零点，故g'（x）在（0，+∞）存在唯一的零点a，
且a∈（1，2）．
当x∈（0，a）时，g'（x）＜0；当x∈（a，+∞）时，g'（x）＞0，所以g（x）_min=g（a）=

a+1

ea-1

+a．
又由g'（a）=0，即得e^a-a-2=0，所以e^a=a+2，
这时g（a）=a+1∈（2，3）．
由于①式等价k＜g（a），故整数k的最大值为2．

点评：本题考察了函数的单调性，求曲线的切线方程，导数的应用，是一道综合题．