Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，A₁A=AB，E为BB₁延长线上的一点，D₁E⊥面D₁AC，设AB=2．
（1）求二面角E-AC-D₁的余弦值；
（2）在D₁E上是否存在一点P，使A₁P∥面EAC？若存在，求D₁P：PE的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）设AC∩BD=O，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角E-AC-D₁的余弦值．
（2）设

D1P

=λ

PE

=λ(

D1E

-

D1P

)，由A₁P∥面EAC，解得λ=

3

2

，由此推导出存在点P使A₁P∥面EAC，此时D₁P：PE=3：2．

解答： 解：（1）设AC∩BD=O，如图所示建立空间直角坐标系O-xyz，
则A（

3

，0，0），B（0，1，0），C（-

3

，0，0），D（0，-1，0），D₁（0，-1，2），
设E（0，1，2+h），
则

D1E

=（0，2，h），

CA

=(2

3

，0，0)，

D1A

=（

3

，1，-2），
∵D₁E⊥平面D₁AC，∴D₁E⊥AC，D₁E⊥D₁A，
∴2-2h=0，解得h=1，即E（0，1，3）．
∴

D1E

=(0，2，1)，

AE

=(-

3

，1，3)．
设平面EAC的法向量为

m

=(x，y，z)，
则由 

m • CA =2 3 x=0 m • AE =- 3 x+y+3z=0

．
令z=-1，得平面EAC的一个法向量为

m

=(0，3，-1)．
又平面D₁AC的法向量为

D1E

=（0，2，1），
∴cos＜

m

，

D1E

＞=

6-1

10 • 5

=

2

2

，
∴二面角E-AC-D₁的余弦值为

2

2

．
（2）设

D1P

=λ

PE

=λ(

D1E

-

D1P

)，得

D1P

=

λ

1+λ

D1E

=(0，

2λ

1+λ

，

λ

1+λ

)，
∴

A1P

=

A1D1

+

D1P

=（-

3

，

λ-1

1+λ

，

λ

1+λ

）
∵A₁P∥面EAC，∴

A1P

⊥

m

，
∴-

3

×0+3×

λ-1

1+λ

+(-1)×

λ

1+λ

=0，解得λ=

3

2

，
∴存在点P使A₁P∥面EAC，此时D₁P：PE=3：2．

点评：本题考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．