Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AB=2

5

，PA=4，PB=2，PC=4，∠BPC=60°，PA⊥BC，E为AB的中点．
（Ⅰ）求证：PA⊥PC；
（Ⅱ）求二面角P-EC-B的正切值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由勾股定理得PA⊥PB，又PA⊥BC，所以PA⊥平面PBC，由此能证明PA⊥PC．
（Ⅱ）在平面PAB内，过点P作PF⊥AB，F为垂足，则PF⊥平面ABC．在Rt△EBC中，过F作FG⊥EC，G为垂足，连接PG，则∠PGF就是二面角P-BC-B的平面角，由此能求出二面角P-EC-B的正切值．

解答： （Ⅰ）证明：∵PA=4，PB=2，AB=2

5

，
∴PA²+PB²=AB²=20，∴PA⊥PB．…（2分）
又∵PA⊥BC，PB∩BC=B，∴PA⊥平面PBC，…（4分）
故PA⊥PC．…（6分）
（Ⅱ）解：如图，在△PBC中，∵PB=2，PC=4，∠BPC=60°，
∴BC²=2²+4²-2×2×4cos60°=12，∴BC=2

3

，
∴PB²+BC²=PC²，∴PB⊥BC．
又PA⊥BC，PB∩PA=P，∴BC⊥平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC．…（8分）
在平面PAB内，过点P作PF⊥AB，
F为垂足，则PF⊥平面ABC．
在Rt△EBC中，过F作FG⊥EC，G为垂足，连接PG，
则∠PGF就是二面角P-BC-B的平面角．…（10分）
又PF=

4 5

5

，
在Rt△PFB中，BF=

22-( 4 5 5 )2

=

2 5

5

，
∴EF=BE-BF=

3 5

5

．
而B点到EC的距离为d=

5 •2 3

5+12

=2

15 17

，
∴GF=

EF

BE

d=

6

5

15 17

．…（12分）
设所求二面角大小为θ，则tanθ=

PF

GF

=

2 51

9

，
∴二面角P-EC-B的正切值为

2 51

9

．（14分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．