Question

设正项等比数列{a_n}的首项a₁=

1

2

，a₁₀=

1

1024

，前n项和为S_n．
（1）求{a_n}的通项及S_n
（2）求{nS_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等比数列的通项公式即可得到q；然后求解通项公式及S_n
（2）利用等比数列的前n项和公式即可得到S_n，再利用“错位相减法”即可得到数列{nS_n}的前n项和T_n．

解答： 解：因为正项等比数列{a_n}的首项a₁=

1

2

，a₁₀=

1

1024

，
所以q=

1

2

．∴a_n=a₁q^n-1=

1

2n

，
S_n=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

．
（2）由题意可知nS_n=n-

n

2n

，
{nS_n}的前n项和T_n．
∴T_n=（1+2+3+…+n）-（

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

）…①，

1

2

T_n=

1

2

（1+2+3+…+n）-（

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

）…②
①-②得：

1

2

T_n=

n(n+1)

4

-（

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

）
=

n(n+1)

4

-

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

+

n

2n+1

=

n(n+1)

4

-1+

n+2

2n+1

，
∴T_n=

n(n+1)

2

+

n+2

2n

-2

点评：本题考查数列的求和，熟练掌握等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、“错位相减法”是解题的关键．