Question

已知函数f（x）=a（2cos²

x

2

+

3

sinx）+b，
（1）当a=1时，求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x∈[0，π]时，f（x）的值域是[3，4]，求a，b的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,复合三角函数的单调性

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）当a=1时，利用三角恒等变换，可得f（x）=2sin（x+

π

6

）+1+b，从而可求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）由（1）知，f（x）=2asin（x+

π

6

）+a+b，当x∈[0，π]时，可求得sin（x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，通过对a＞0与a＜0的讨论，利用f（x）的值域是[3，4]，可求a，b的值．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=1+cosx+

3

sinx+b=

3

sinx+cosx+b+1=2sin（x+

π

6

）+1+b…2分
T=2π…3分
由-

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z得：2kπ-

2

3

π≤x≤

π

3

+2kπ，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间为[2kπ-

2

3

π，

π

3

+kπ]，k∈Z…6分
（2）f（x）=2asin（x+

π

6

）+a+b，
x∈[0，π]，x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，sin（x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]…8分
当a＞0时，f（x）∈[b，3a+b]，于是

b=3 3a+b=4

，解得

a= 1 3 b=3

…10分
当a＜0时，f（x）∈[3a+b，b]，同理可得

a=- 1 3 b=4

…12分

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查复合三角函数的单调性，考查分类讨论思想与方程思想的综合应用，属于中档题．