Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0，n∈N﹡，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1=b_n+2．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=

1-(-1)n

2

a_n-

1+(-1)n

2

b_n，求数列{c_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出数列{a_n}是以2为公比的等比数列，由此求出数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ．{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，由此求出b_n=2n-1．
（2）c_n=

2n，n为奇数 -(2n-1)，n为偶数

，由此利用分组求和法能求出数列{c_n}的前2n项和T_2n．

解答： 解：（1）∵a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0，∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0，
∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴a_n+1+a_n＞0，
∴a_n+1-2a_n=0，
即a_n+1=2a_n，所以数列{a_n}是以2为公比的等比数列．
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中项，
∴a₂+a₄=2a₃+4，
∴2a₁+8a₁=8a₁+4，
∴a₁=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ．
∵数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1=b_n+2．
∴{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1．…（6分）
（2）∵c_n=

1-(-1)n

2

a_n-

1+(-1)n

2

b_n
=

1-(-1)n

2

•2n-

1+(-1)n

2

•(2n-1)
=

2n，n为奇数 -(2n-1)，n为偶数

，
∴T_2n=（2+2³+…+2^n-1）-[（3+7+…+（4n-1）]
=

2(1-4n)

1-4

-

n(3+4n-1)

2

=

22n+1-2

3

-2n²-n．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．