Question

如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD．
（Ⅰ）求证：AB⊥DE；
（Ⅱ）若点F为BE的中点，求直线AF与平面ADE所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出∠ABD=90°，∠EDB=∠CDB=∠ABD=90°，从而得到平面EBD⊥平面ABD，由此能够证明ED⊥AB．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知ED⊥平面ABD，∠ABD=90°，以D为原点，以DB为x轴，以DC为y轴，以DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AF与平面ADE所成角正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：在△ABD中，
由余弦定理：BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos∠DAB，
∴BD=2

3

，
∴△ABD和△EBD为直角三角形，此即ED⊥DB，
而DB又是平面EBD和平面ABD的交线，且平面EBD⊥平面ABDED?平面EBD且ED?平面ABD，
∴ED⊥平面ABD，同时AB?平面ABD，
∴AB⊥DE；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知∠ABD=∠CDB=90°，以D为坐标原点，DB，DC，DE所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2

3

，0，0)，C(0，2，0)，E(0，0，2)A(2

3

，-2，0)，则F(

3

，0，1)，
设平面ADE的法向量为

n

=（x，y，z），则有

2 3 x-2y=0 2z=0

，
令x=1，则n=(1，

3

，0)，

AF

=(-

3

，2，1)，
设直线AF与平面ADE所成角为α，
则有sinα=cos＜n，

AF

＞=

n• AF

|n|×| AF |

=

3

2× 8

=

6

8

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．