Question

如图，四棱锥P-ABCD，∠DAB=90°，BC⊥CD，∠CDB=30°，且PA=PB=PD=AB=AD=

2

．
（Ⅰ）求证：面PBD⊥面ABCD；
（Ⅱ）求平面PAB与平面PBC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取BD中点O，连PO、AO，证明PO⊥平面ABCD，即可证明面PBD⊥面ABCD；
（Ⅱ）建立坐标系，求出面PAB的法向量、面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面PAB与平面PBC所成锐二面角的余弦值．

解答： （I）证明：取BD中点O，连PO、AO
由PB=PD=

2

，BD=2可知△DPB为等腰直角三角形，
则PO=AO=1，而PA=

2

，故PO⊥AO，-------（3分）
又PO⊥BD，则PO⊥平面ABCD，
故面PBD⊥面ABCD------------（6分）
（II）解：如图，建立坐标系，则A（1，0，0），B（0，1，0），P（0，0，1），
∴

PA

=（1，0，-1），

PB

=（0，1，-1），设面PAB的法向量为

m

=（x，y，z），
则

x-z=0 y-z=0

，令z=1，则

m

=（1，1，1）-------（7分）
同理可得平面PBC的法向量为

n

=（-

3

3

，1，1）．--------（9分）
则

m

•

n

=2-

3

3

，∴cos＜

m

，

n

＞=

6 7 - 21

21

．
故平面PAB与平面PBC所成锐二面角的余弦值为

6 7 - 21

21

----（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查平面与平面所成锐二面角的余弦值，考查小时分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，难度中等．