Question

已知函数f（x）=e^x+1-x-2．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x≥-1时，不等式f（x）≥

a

2

（x+1）²恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．
（Ⅱ）将不等式f（x）≤x²恒成立进行转化为求函数的最值问题，利用导数结合分类讨论即可求a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x+1-x-2，
∴f′（x）=e^x+1-1，可得f′（x）=0的根为x=-1
 当x＜-1时，f′（x）＜0，可得函数在区间（-∞，-1）上为减函数；
当x＞-1时，f′（x）＞0，可得函数在区间（-1，+∞）上为增函数．
（Ⅱ）∵函数f（x）在区间[-1，+∞）上为增函数，
∴f（x）≥f（-1）=0，
若a≤0，则

a

2

（x+1）²≤0≤f（x）成立，此时满足条件．
若a＞0，令g（x）=f（x）-

a

2

（x+1）²，
则g′（x）=e^x+1-a（x+1）=h（x），
则h′（x）=e^x+1-a，
当x≥-1时，e^x+1≥1，
当0＜a≤1时，h′（x）≥0，此时h（x）在区间[-1，+∞）上为增函数．
∴h（x）≥h（-1）=0，即g′（x）＞0，∴g（x）的最小值为g（-1）=0．
当a＞1时，令h′（x）=0，解得x=lna-1＞-1，
当x∈（-1，lna-1）时，h′（x）＜0，此时函数单调递减．
∴h（x）＜h（-1）＜0，
即g′（x）＜0，g（x）在（-1，lna-1）递减，∴g（lna-1）＜g（-1）=0，
此时g（x）≥0不恒成立，
综上实数a的取值范围是（-∞，1]．

点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系和应用，以及利用函数的导数研究函数恒成立问题，综合性较强，运算量较大．