Question

所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数．如：6=1+2+3；28=1+2+4+7+14；496=1+2+4+8+16+31+62+124+248．已经证明：若2ⁿ-1是质数，则2^n-1（2ⁿ-1）是完全数，n∈N^*．请写出一个四位完全数

 

；又6=2×3，所以6的所有正约数之和可表示为（1+2）•（1+3）；28=2²×7，所以28的所有正约数之和可表示为（1+2+2²）•（1+7）；按此规律，请写出所给的四位数的所有正约数之和可表示为

 

．（请参照6与28的形式给出）

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：空间位置关系与距离

分析：根据已知中若2ⁿ-1是质数，则2^n-1（2ⁿ-1）是完全数，令n=7可得一个四位完全数，进而根据已知中6的所有正约数之和及28的所有正约数之和的表达形式得到8128的所有正约数之和．

解答： 解：若2ⁿ-1是质数，则2^n-1（2ⁿ-1）是完全数，
令n=7可得一个四位完全数为64×127=8128．
由题意可令8128=2⁶×（2⁷-1）=2⁶×127，
其所有正约数之和为（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶）•（1+127），
故答案为：8128，（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶）•（1+127）

点评：本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键．