已知函数f(x).若对给定的△ABC.它的三边的长a.b.c均在函数f.f也为某三角形的三边的长.则称f(x)是△ABC的“三角形函数 .下面给出四个命题:①函数f1(x)=x是任意三角形的“三角形函数．②函数f2(x)=x是任意兰角形“三角形函数 ,③若定义在上的周期函数 f3(x)的值域也是勤f3(x).则f3(x)是任意三角形的“三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知函数f（x），若对给定的△ABC，它的三边的长a，b，c均在函数f（x）的定义域内，都有f（a），f（b），f（c）也为某三角形的三边的长，则称f（x）是△ABC的“三角形函数”，下面给出四个命题：
①函数f₁（x）=x是任意三角形的“三角形函数”．
②函数f₂（x）=

（x∈（0，+∞））是任意兰角形“三角形函数”；
③若定义在（0，+∞）上的周期函数 f₃（x）的值域也是勤f₃（x），则f₃（x）是任意三角形的“三角形函数”；
④若函数f₄（x）=x³-3x+m在区间或（

，

）上是某三角形的“三角形函数”，则m的取值范是（

，+∞）．
以上命题正确的有

（写出所有正确命题的序号）

考点：进行简单的合情推理

专题：推理和证明

分析：判断函数f（x）是不是“三角形函数”，只须对任意的三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，不妨假设a≤c，b≤c，判断f（a），f（b），f（c）是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边即可．
①显然符合条件，
②f₂（x）=

中，设△的三边长分别为a，b，c，且a+b＞c，有f（a）+f（b）=

＞

a+b

＞

=f（c）；
③f₃（x）中，举反例说明命题不成立；
④f₄（x）中，利用导函数判断函数在x∈（

，

）上的增减性并比较大小，从而确定m的取值范围；

解答： 解：①对于f₁（x）=x，显然符合条件；
②对于f₂（x）=

，x∈（0，+∞），设△的三边长分别为a，b，c，且a+b＞c，
不妨设a≤c，b≤c，则f（a）+f（b）=

＞

a+b

＞

=f（c），符合条件；
③对于定义在（O，+∞）上的周期函数f₃（x），值域是（0，+∞），设T（T＞0）是f₃（x）的一个周期，则存在n＞m＞0，有f₃（m）=1，f₃（n）=2，
取正整数λ＞

n-m

，则λT+m，λT+m，n，是三角形的三边，又f₂（λT+m）=1，f₂（λT+m）=1，f₂（n）=2不能组成三角形，∴不符合条件；
④对于函数f₄（x）=x³-3x+m，∵f₄′（x）=3x²-3，∴f₄（x）在（-1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，又x∈（

，

），
∴f₄（1）＜f₄（

）＜f₄（

）；要使f₄（x）是某三角形的“三角形函数”，须f₄（

）=（

）³-3×

+m＞0，∴m＞

，∴不符合条件；
故答案为：①②

点评：本题通过命题真假的判定，考查了新定义下的函数模型的应用问题，是比较容易出错的题目．

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